Banane e cammello
Soluzione
L'uomo arriverà al mercato con 533+1/3 (=533,333) banane (potrà venderne 533).
Infatti: poichè ci sono 3000 banane e il cammello ne può trasportare al più 1000, saranno necessari almeno 5 viaggi (3 di andata e 2 di ritorno) dalla piantagione:
Dove però il punto A non può essere il mercato: infatti il cammello non può percorrere più di 500 chilometri in andata se poi dovrà compiere anche il viaggio di ritorno (questo perchè il cammello mangia una banana per ogni chilometro percorso e se percorresse 1000 chilometri in andata non avrebbe più banane per il ritorno).
Dunque il punto A si trova tra la piantagione ed il mercato.
Dal punto A ad un punto successivo B saranno necessari meno di cinque viaggi per trasportare le banane.
Si giunge così allo schema seguente per la soluzione del problema:
Nota: lo schema va letto considerando prima i cinque viaggi tra P ed A, poi i tre tra A e B ed infine quello da B a M (il riepilogo più sotto chiarirà ogni dubbio).
Mostriamone la validità:
Come detto prima, il tratto PA deve necessariamente esistere.
Ma il tratto AB (o quello BM) potrebbe avere lunghezza zero?
Facciamo un'analisi sui costi (in termini di banane) di ciascun tratto: ogni chilometro della sezione PA costa 5 banane (avendo considerato la sezione come l'insieme di tutti i viaggi andata-ritorno necessari); ogni chilometro della sezione AB costa 3 banane ed ogni chilometro della sezione BM costa 1 banana.
Per risparmiare banane allora dovremmo fare in modo che il tratto PA sia minore del tratto AB che a sua volta deve essere minore del tratto BM.
Ma, poichè il tratto PA è maggiore di zero (come detto deve necessariamente esistere), allora anche AB e BM saranno maggiori di zero.
Abbiamo dunque provato la necessità dell'esitenza di tutti i tratti visti sopra.
Il cammello può trasportare al più 2000 banane dal punto A.
Questo vuol dire che la distanza tra P e A deve essere scelta in modo che arrivino esattamente 2000 banane nel punto A. Se infatti tale diatanza fosse scelta inferiore, arriverebbero più di 2000 banane nel punto A ma il surplus non potrebbe più essere trasportato. Se invece fosse scelta superiore il cammello mangerebbe più banane del necessario (facendone arrivare meno di 2000 in A).
Dunque, in base alle osservazioni fatte, possiamo facilmente calcolare che la lunghezza del tratto PA deve essere di 200 chilometri (3000-5*PA=2000, ==> PA=200).
Notare che la distanza è minore di 500Km (in corrispondenza della quale il cammello potrebbe viaggiare da P ad A ma non lascerebbe alcuna banana in A).
La situazione nel punto B è simile a quella appena esaminata per il punto A. Il cammello non può trasportare più di 1000 banane da B al mercato. La distanza tra A e B deve essere scelta in modo che giungano esattamente 1000 banane in B.
Anche stavolta risulta facilmente che deve essere AB=333+1/3=333,333 Km (2000-3*AB=1000 ==> AB=333,333).
Infine, con una semplice differenza, si ricava che BM=466+2/3=466,666 Km (BM=1000-200-333,333).
Quindi il cammello arriva al mercato con 533,333 banane, avendo percorso in totale 2466,666 Km (200*5+333,333*3+466,666=2466,666) e quindi avendo mangiato in totale 2466,666 banane (delle 3000 iniziali).
Riepilogando , lo scenario risulta essere il seguente:
Il cammello parte con 1000 banane dal punto P;
arriva nel punto A con 800 banane;
ne lascia 600 e consuma le restanti 200 per tornare in P;
riparte da P con altre 1000 banane;
arriva in A con 800 banane;
ne lascia 600 e consuma le restanti 200 per tornare in P;
riparte da P con le ultime 1000 banane;
arriva in A con 800 banane;
A questo punto in A ci sono 600+600+800=2000 banane.
Il cammello parte con 1000 banane da punto A;
arriva nel punto B con 666+2/3 banane;
ne lascia 333+1/3 e consuma le restanti 333+1/3 per tornare in A;
riparte da A con le altre 1000 banane;
arriva in B con 666+2/3 banane;
A questo punto in B ci sono 333+1/3+666+2/3=1000 banane.
Infine il cammello parte da B con le 1000 banane e arriva al mercato con 1000-466+2/3=533+1/3 banane.
Infatti: poichè ci sono 3000 banane e il cammello ne può trasportare al più 1000, saranno necessari almeno 5 viaggi (3 di andata e 2 di ritorno) dalla piantagione:
| ====and.===> | ||
| <===rit.==== | ||
| P(piantagione) | ====and.===> | A |
| <===rit.==== | ||
| ====and.===> |
Dove però il punto A non può essere il mercato: infatti il cammello non può percorrere più di 500 chilometri in andata se poi dovrà compiere anche il viaggio di ritorno (questo perchè il cammello mangia una banana per ogni chilometro percorso e se percorresse 1000 chilometri in andata non avrebbe più banane per il ritorno).
Dunque il punto A si trova tra la piantagione ed il mercato.
Dal punto A ad un punto successivo B saranno necessari meno di cinque viaggi per trasportare le banane.
Si giunge così allo schema seguente per la soluzione del problema:
| ====and.===> | ||||||
| <===rit.==== | ====and.===> | |||||
| P(piantagione) | ====and.===> | A | <===rit.==== | B | ====and.===> | M (mercato) |
| <===rit.==== | ====and.===> | |||||
| ====and.===> |
Nota: lo schema va letto considerando prima i cinque viaggi tra P ed A, poi i tre tra A e B ed infine quello da B a M (il riepilogo più sotto chiarirà ogni dubbio).
Mostriamone la validità:
Come detto prima, il tratto PA deve necessariamente esistere.
Ma il tratto AB (o quello BM) potrebbe avere lunghezza zero?
Facciamo un'analisi sui costi (in termini di banane) di ciascun tratto: ogni chilometro della sezione PA costa 5 banane (avendo considerato la sezione come l'insieme di tutti i viaggi andata-ritorno necessari); ogni chilometro della sezione AB costa 3 banane ed ogni chilometro della sezione BM costa 1 banana.
Per risparmiare banane allora dovremmo fare in modo che il tratto PA sia minore del tratto AB che a sua volta deve essere minore del tratto BM.
Ma, poichè il tratto PA è maggiore di zero (come detto deve necessariamente esistere), allora anche AB e BM saranno maggiori di zero.
Abbiamo dunque provato la necessità dell'esitenza di tutti i tratti visti sopra.
Il cammello può trasportare al più 2000 banane dal punto A.
Questo vuol dire che la distanza tra P e A deve essere scelta in modo che arrivino esattamente 2000 banane nel punto A. Se infatti tale diatanza fosse scelta inferiore, arriverebbero più di 2000 banane nel punto A ma il surplus non potrebbe più essere trasportato. Se invece fosse scelta superiore il cammello mangerebbe più banane del necessario (facendone arrivare meno di 2000 in A).
Dunque, in base alle osservazioni fatte, possiamo facilmente calcolare che la lunghezza del tratto PA deve essere di 200 chilometri (3000-5*PA=2000, ==> PA=200).
Notare che la distanza è minore di 500Km (in corrispondenza della quale il cammello potrebbe viaggiare da P ad A ma non lascerebbe alcuna banana in A).
La situazione nel punto B è simile a quella appena esaminata per il punto A. Il cammello non può trasportare più di 1000 banane da B al mercato. La distanza tra A e B deve essere scelta in modo che giungano esattamente 1000 banane in B.
Anche stavolta risulta facilmente che deve essere AB=333+1/3=333,333 Km (2000-3*AB=1000 ==> AB=333,333).
Infine, con una semplice differenza, si ricava che BM=466+2/3=466,666 Km (BM=1000-200-333,333).
Quindi il cammello arriva al mercato con 533,333 banane, avendo percorso in totale 2466,666 Km (200*5+333,333*3+466,666=2466,666) e quindi avendo mangiato in totale 2466,666 banane (delle 3000 iniziali).
Riepilogando , lo scenario risulta essere il seguente:
Il cammello parte con 1000 banane dal punto P;
arriva nel punto A con 800 banane;
ne lascia 600 e consuma le restanti 200 per tornare in P;
riparte da P con altre 1000 banane;
arriva in A con 800 banane;
ne lascia 600 e consuma le restanti 200 per tornare in P;
riparte da P con le ultime 1000 banane;
arriva in A con 800 banane;
A questo punto in A ci sono 600+600+800=2000 banane.
Il cammello parte con 1000 banane da punto A;
arriva nel punto B con 666+2/3 banane;
ne lascia 333+1/3 e consuma le restanti 333+1/3 per tornare in A;
riparte da A con le altre 1000 banane;
arriva in B con 666+2/3 banane;
A questo punto in B ci sono 333+1/3+666+2/3=1000 banane.
Infine il cammello parte da B con le 1000 banane e arriva al mercato con 1000-466+2/3=533+1/3 banane.
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