La sfida l'ha vinta Beppe.

Dalla (1) e dalla (2) ricaviamo che sono state giocate almeno 5 partite: infatti, se fossero state meno, uno dei giocatori avrebbe dovuto vincere almeno due partite consecutive.
Dalla (1) e dalla (3) si deduce che al più ne sono state giocate 6.
Partendo con Antonio mazziere, per non finire con lui che dà le carte, devono essere state giocate 2 o 3 o 5 o 6 o 8,... partite. Ma abbiamo già determinato che le partite sono più di 5, inoltre sappiamo che alla 7a partita ci sarà sicuramente un vincitore, ma la 7a partita finirebbe con Antonio, quindi sono state giocate al massimo 6 partite.
Supponendo che siano state giocate 5 partite, il vincitore della sfida avrebbe dovuto vincere la prima partita, la terza e la quinta (dalla (2)). Ma dalle (3), (4) e (5) si evince che ogni giocatore in questo caso avrebbe dato le carte in una di queste partite. Il che significa che il vincitore della sfida avrebbe vinto una partita in cui era mazziere, ma questo contraddice la (6).
Quindi sono state giocate esattamente 6 partite e, ovviamente, il vincitore della sfida è colui che si è aggiudicato l'ultima partita.
Dunque, dato che sono state giocate 6 partite, è Carlo l'ultimo di mazzo, quindi, per la (6), non può essere lui ad aver vinto la sfida.
Restano allora solo Antonio e Beppe.
Se avesse vinto Antonio l'ultima partita, allora, per la (2), non avrebbe potuto vincere la quinta partita, ma per la (6) non avrebbe potuto vincere nemmeno la quarta e nemmeno la prima, nelle quali è mazziere. Dunque gli rimaneva solo la possibilità di vincere la 2a o la 3a partita, non entrambe però.
Il che significa che non avrebbe potuto vincere 3 partite.
Allora, per esclusione, deve essere Beppe il vincitore della sesta partita. Quindi è Beppe che si è aggiudicato la sfida.
In particolare, ci sono quattro sequenze ammissibili con cui Beppe può aver vinto:
  1)   BABCAB
  2)   BCBCAB
  3)   BCABAB
  4)   BCABCB

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Soluzione alternativa proposta da Marco Pavone

La prima cosa che si può affermare con certezza, utilizzando la sola ipotesi (1), è che la sfida non è durata più di sette mani. Infatti non è possibile che, al termine della settima mano, tutti e tre i concorrenti abbiano vinto al più due mani a testa.
A questo punto, poichè il mazziere della settima mano è Antonio, possiamo concludere che la sfida, non potendosi essere conclusa in sette mani per via dell'ipotesi (3), si è conclusa in al più sei mani.
Utilizzando le ipotesi (3),(4),(5) e (6), possiamo scrivere, nell'ordine, la lista dei possibili vincitori delle prime sei mani:

  B oppure C
  A oppure C
  A oppure B
  B oppure C
  A oppure C
  A oppure B

Da questa sequenza si evince immediatamente che l'unico dei tre che può avere vinto tre mani, senza vincerne due consecutivamente, è B.
Dunque la sfida è stata vinta da Beppe.

Nota La sequenza precedente ci dice anche che B ha vinto la terza o la quarta mano, ma non entrambe. Per collezionare tre vittorie, egli deve avere vinto anche la prima e la sesta mano. Da ciò segue anche, incidentalmente, che la sfida è durata esattamente sei mani.
Le possibili sequenze di vincitori sono pertanto BABCAB, BCBCAB, BCABAB, BCABCB (le prime due sequenze sono i due casi in cui B vince la terza mano; le ultime due sono i due casi in cui B vince la quarta mano).